Tm ma Majhmatik n Panepist mio Patr n Bohjhtikèc Shmei seic gia to mˆjhma Analutik GewmetrÐa Anaplhr tria Kajhg tria Pˆtra 2014
Οι σημειώσεις αυτές γραφτηκαν για τις ανάγκες του μαθήματος Αναλυτική Γεωμετρία Η επιλογή των ασκήσεων για το μέρος της Γραμμικής Άλγεβρας έγινε από την Επιστημονική Συνεργάτιδα Ελένη Πετροπούλου Οι διορθώσεις του κειμένου πραγματοποιήθηκαν από την μεταπτυχιακή φοιτήτρια Ευαγγελία Κακίου
Perieqìmena I Grammik 'Algebra 5 1 Πίνακες 7 11 Πράξεις με πίνακες 8 111 Πολλαπλασιασμός πίνακα με πραγματικό αριθμό 8 112 Πρόσθεση πινάκων 8 113 Πολλαπλασιασμός γραμμής επί στήλη 8 114 Πολλαπλασιασμός πινάκων 8 12 Βασικές ιδιότητες των πράξεων με πίνακες 9 13 Στοιχειώδεις μετασχηματισμοί των γραμμών του πίνακα 10 131 Κλιμακωτοί πίνακες 11 14 Βαθμός του πίνακα 11 15 Ανάστροφος ενός πίνακα 12 16 Αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα 12 161 Ιδιότητες του αντίστροφου πίνακα 12 17 Στοιχειώδεις πίνακες 13 171 Ιδιότητες των στοιχειωδών πινάκων 13 18 Γραμμική εξάρτηση γραμμών ή στηλών ενός πίνακα 14 19 Κριτήρια αντιστρεψιμότητας ενός πίνακα 15 191 Υπολογισμός του αντίστροφου πίνακα 15 110 Ασκήσεις 17 2 Ορίζουσα του πίνακα 19 21 Μεταθέσεις 19 211 Παραβάσεις μιας μετάθεσης 20 22 Ορισμός της ορίζουσας ενός τετραγωνικού πίνακα 21 221 Τριγωνικοί πίνακες 22 23 Ελάσσονες και αλγεβρικά συμπληρώματα 22 24 Ανάπτυξη μιας ορίζουσας κατά γραμμή ή κατά στήλη 23 25 Ιδιότητες των οριζουσών 24 26 Ανεύρεση του αντίστροφου πίνακα 25 27 Προσδιορισμός του βαθμού ενός πίνακα 26 28 Ασκήσεις 27 3 Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων 29 31 Επίλυση τετραγωνικού συστήματος με τη χρήση των πινάκων 30 32 Επίλυση συστήματος με απαλοιφή αγνώστων (Μέθοδος Gauss) 30 33 Επίλυση συστήματος με τον κανόνα του Cramer 34 34 Ομογενή συστήματα γραμμικών εξισώσεων 35 35 Ασκήσεις 36 1
2 II Analutik GewmetrÐa 39 4 Διανυσματικοί χώροι 41 41 Εφαρμοστά διανύσματα του χώρου 41 42 Ελεύθερα διανύσματα 42 43 Η έννοια του διανυσματικού χώρου 43 44 Γραμμική εξάρτηση στοιχείων διανυσματικού χώρου 43 45 Βασικές προτάσεις για την γραμμική εξάρτηση 44 46 Γεωμετρική ερμηνεία της γραμμικής εξάρτησης 45 47 Βαση διανυσματικού χώρου 45 48 Ασκήσεις 46 5 Συστήματα συντεταγμένων 47 51 Προβολές 47 52 Γενικά συστήματα συντεταγμένων 48 53 Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων 50 54 Πολικό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο 51 55 Πολικό σύστημα συντεταγμένων στο χώρο 52 56 Ασκήσεις 55 6 Μετασχηματισμοι συστημάτων συντεταγμένων 57 61 Μετασχηματισμός γενικού συστήματος συντεταγμένων 57 62 Τύποι αλλαγής των συντεταγμένων 58 63 Τύποι αλλαγής των συντεταγμένων στο επίπεδο 59 64 Αλλαγή ορθοκανονικού συστήματος 60 7 Εξωτερικό γινόμενο και μικτό γινόμενο διανυσμάτων 63 71 Προσανατολισμός του επιπέδου και του χώρου 63 72 Εξωτερικό γινόμενο και μικτό γινόμενο διανυσμάτων 64 73 Εξωτερικό και μικτό γινόμενα στο χώρο με ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων 65 74 Ασκήσεις 66 8 Ευθείες και επίπεδα στο χώρο 69 81 Εξίσωση επιπέδου 70 82 Σχετική θέση επιπέδων 70 83 Ευθεία στο χώρο 71 84 Σχετική θέση δύο ευθειών στο χώρο 72 85 Απόσταση σημείου από την ευθεία και επίπεδο 73 86 Απόσταση μεταξύ των ευθειών 73 87 Επίπεδο στο χώρο με ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων 73 88 Ευθεία στο επίπεδο 74 89 Ασκήσεις 77 891 Ευθεία και επίπεδο στον χώρο με γενικό σύστημα συντεταγμένων 77 892 Ευθεία και επίπεδο στον χώρο με ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων 80 9 Επιφάνειες 2ου βαθμού 85 91 Κυλινδρικές επιφάνειες 85 92 Κωνικές επιφάνειες 86 93 Επιφάνειες εκ περιστροφής 86 94 Ελλειψοειδές 87 95 Τα υπερβολοειδή 87
3 96 Τα παραβολοειδή 88 97 Επιφάνειες δευτέρου βαθμού 89 98 Ασκήσεις 90
4
Mèroc I Grammik 'Algebra 5
Kefˆlaio 1 PÐnakec Ορισμός 101 Μια απεικόνιση A : {1,, m} {1,, n} R καλείται πίνακας τύπου m n πάνω από το R Η τιμή A(i, j) της A στο (i, j) καλείται στοιχείο i-γραμμής και j-στήλης και συμβολίζεται με a ij ή με a i,j Ενας πίνακας τύπου m n έχει m γραμμές και n στήλες και παριστάνεται ως εξής a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn Ο πίνακας A με m γραμμές, n στήλες και στοιχεία a ij για συντομία γράφεται: A = (a ij ), i = 1,, m, j = 1,, n Ενας πίνακας καλείται τετραγωνικός όταν το πλήθος των γραμμών του ισούται με το πλήθος των στηλών του, έχει δηλαδή την εξής μορφή: (11) a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a ij R (12) a n1 a n2 a nn Συμβολίζουμε με M m n (R) το σύνολο όλων των πινάκων τύπου m n πάνω από το R Για κάθε φυσικό αριθμό n 1 το συνόλο M n n (R) αποτελείται από τετραγωνικούς πίνακες Τα στοιχεία του συνόλου M 1 n (R) είναι της μορφής (a 11 a 12 a 1n ) και καλούνται γραμμές a 11 a 21 Τα στοιχεία του συνόλου M n 1 (R) είναι της μορφής και καλούνται στήλες Συμβολίζουμε με A i την i-γραμμή και με A j την j-στήλη του πίνακα A Αν A M m n (R), τότε a 1j A i = (a i1 a i2 a in ), A j a 2j = a mj a n1 7
8 11 Prˆxeic me pðnakec 111 Pollaplasiasmìc pðnaka me pragmatikì arijmì Αν λ R και A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn καλείται γινόμενο του λ επί το A, τότε ο πίνακας λ A = Για κάθε πίνακα A συμβολίζουμε λa = λ A και A = ( 1) A λa 11 λa 12 λa 1n λa 21 λa 22 λa 2n λa m1 λa m2 λa mn 112 Prìsjesh pinˆkwn Αν A, B M m n (R), A = πίνακας A + B = καλείται άθροισμα των A και B a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn και B = a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2n + b 2n a m1 + b m1 a m2 + b m2 a mn + b mn 113 Pollaplasiasmìc gramm c epð st lh b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n b m1 b m2 b mn b 2 Το γινόμενο της γραμμής A = (a 1 a 2 a n ) M 1 n (R) επί την στήλη B = αριθμός (δηλαδή (1 1)-πίνακας) που ορίζεται ως εξής: A B = a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n b 1 b n, τότε ο M n 1(R) είναι Το γινόμενο της i-γραμμής A i = (a i1 a i2 a in ) ένος πίνακα A με n στήλες επί την j-στήλη B j = ενός πίνακα B με n γραμμές βρίσκεται από τον τύπο b 1j b 2j b nj 114 Pollaplasiasmìc pinˆkwn Αν A = τότε ο πίνακας a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn A B = A i B j = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj M m n(r) και B = b 11 b 12 b 1k b 21 b 22 b 2k b n1 b n2 b nk A 1 B 1 A 1 B 2 A 1 B k A 2 B 1 A 2 B 2 A 2 B k M m k(r) A m B 1 A m B 2 A m B k M n k(r),
9 καλείται γινόμενο των A και B Αναλυτικότερα, A B είναι ο πίνακας a 11 b 11 + a 12 b 21 + + a 1n b n1 a 11 b 12 + a 12 b 22 + + a 1n b n2 a 11 b 1k + a 12 b 2k + + a 1n b nk a 21 b 11 + a 22 b 21 + + a 2n b n1 a 21 b 12 + a 22 b 22 + + a 2n b n2 a 21 b 1k + a 22 b 2k + + a 2n b nk a m1 b 11 + a m2 b 21 + + a mn b n1 a m1 b 12 + a m2 b 22 + + a mn b n2 a m1 b 1k + a m2 b 2k + + a mn b nk Παραδείγματα 111 1 ( 2 3 5 ) 4 0 = 2 4 + 3 0 + 5 8 = 48 8 ( ( ) x xa xb xc 2 (a b c) = y) ya yb yc ( ) ( ( ) 2 3 x 2x + 3y 3 = 4 5 y) 4x + 5y ( ) 2 2 2 4 a x ( ) b y 2a + 2b + 2c 2x + 2y + 2z = 3 3 3 3a + 3b + 3c 3x + 3y + 3z c z 12 Basikèc idiìthtec twn prˆxewn me pðnakec 0 0 0 0 0 0 Ο πίνακας O = M m n(r) καλείται μηδενικός πίνακας τύπου m n 0 0 0 Δηλαδή, μηδενικός πίνακας τύπου m n είναι ο O = (a ij ) με a ij = 0 για i = 1,, m και για j = 1,, n 1 0 0 0 0 1 0 0 Ο πίνακας I = M n n (R) καλείται μοναδιαίος πίνακας τύπου n n 0 0 1 0 0 0 0 1 { 1, i = j Δηλαδή, μοναδιαίος πίνακας τύπου n n είναι ο I = (a ij ) με a ij = για i, j = 1,, n 0, i j Θεώρημα 121 Αν O είναι ο μηδενικός πίνακας τύπου m n, A, B, C M m n (R) και λ, µ R, τότε 1 A + B = B + A 2 (A + B) + C = A + (B + C) 3 A + O = A 4 A + ( A) = O 5 (λ + µ)a = λa + µa 6 λ(µa) = (λµ)a 7 λ(a + B) = λa + λb 8 1 A = A
10 Θεώρημα 122 Ο πολλαπλασιασμός των πινάκων έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: 1 Αν A M n n (R) και I M n n (R) είναι μοναδιαίος πίνακας, τότε A I = I A = A 2 Αν A M m n (R), B M n k (R) και C M k p (R), τότε A (B C) = (A B) C 3 Αν A M m n (R) και B, C M n k (R), τότε A (B + C) = A B + A C 4 Αν A M m n (R), B M n k (R) και λ R, τότε λ(a B) = A (λb) = (λa) B 13 Stoiqei deic metasqhmatismoð twn gramm n tou pðnaka Ορισμός 131 Στοιχειώδεις μετασχηματισμοί γραμμών ενός πίνακα A καλούνται οι εξής: 1 Πολλαπλασιασμός κάποιας γραμμής με λ R \ {0} a 11 a 12 a 1n a j1 a j2 a jn a k1 a k2 a kn λa j a 11 a 12 a 1n λa j1 λa j2 λa jn a k1 a k2 a kn 2 Η πρόσθεση σε μια γραμμη του πίνακα κάποιας άλλης γραμμής πολλαπλασιασμένης με λ R \ {0} a 11 a 12 a 1n a j1 a j2 a jn a i1 a i2 a in a k1 a k2 a kn A i+λa j a 11 a 12 a 1n a j1 a j2 a jn a i1 + λa j1 a i2 + λa j2 a in + λa jn a k1 a k2 a kn 3 Αντιμετάθεση δύο γραμμών a 11 a 12 a 1n a i1 a i2 a in a j1 a j2 a jn a k1 a k2 a kn A i A j a 11 a 12 a 1n a j1 a j2 a jn a i1 a i2 a in a k1 a k2 a kn Ορισμός 132 Δύο πίνακες καλούνται γραμμοϊσοδύναμοι, όταν ο ένας προκύπτει από τον άλλον μετά την εφαρμογή πεπερασμένου πλήθους στοιχειωδών μετασχηματισμών γραμμών
131 KlimakwtoÐ pðnakec Μια γραμμή A i ενός πίνακα A M m n (R) καλείται μηδενική αν a ij = 0 για κάθε j = 1,, n Το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο μιας μη μηδενικής γραμμής ενός πίνακα καλείται ηγετικό στοιχείο της γραμμής αυτής Δηλαδή, το στοιχείο a ij 0 της i-οστής γραμμής είναι ηγετικό, όταν ή j = 1 ή j 1 και a i1 = = a ij 1 = 0 Ορισμός 133 Ενας πίνακας m n καλείται κλιμακωτός, όταν έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: 1 οι μη μηδενικές γραμμές του πίνακα προηγούνται των μηδενικών γραμμών 2 αν a 1i1, a 2i2,, a nin είναι τα ηγετικά στοιχεία, αντίστοιχα, της 1ης, 2ης,, n-στης γραμμής, τότε i 1 < i 2 < < i n Θεώρημα 134 Κάθε μη μηδενικός πίνακας είναι γραμμοϊσοδύναμος με έναν κλιμακωτό πίνακα Απόδειξη 11 Παράδειγμα 131 0 3 1 2 3 5 1 7 0 A1 A3 14 Bajmìc tou pðnaka 1 7 0 2 3 5 0 3 1 A2 2A1 1 7 0 0 11 5 A3+ 3 11 A2 0 3 1 1 7 0 0 11 5 0 0 4 11 Οι γραμμές A i1, A i2,, A ik είναι γραμμικώς ανεξάρτητες, όταν καμμία από αυτές δεν εκφράζεται ως γραμμικός συνδυασμός των άλλων Παραδείγματα 141 1 Εστω A = 1 2 3 1 4 2 3 8 8 Οι γραμμές A 1 = (1 2 3) και A 2 = (1 4 2) είναι γραμμικώς ανεξάρτητες, αφού A 2 λa 1 για κάθε λ R Οι γραμμές A 1, A 2, A 3 είναι γραμμικώς εξαρτημένες, αφού A 3 = 2A 1 + A 2 2 0 1 8 2 Οι γραμμές του κλιμακωτού πίνακα 0 2 3 4 είναι γραμμικώς ανεξάρτητες 0 0 0 5 Ορισμός 142 Το μέγιστο πλήθος των γραμμικώς ανεξάρτητων γραμμών ενός πίνακα A καλείται βαθμός του A και συμβολίζεται με rank(a) Θεώρημα 143 Αν οι πίνακες A και B είναι ισοδύναμοι, τότε rank(a) = rank(b) Επειδή οι μη μηδενικές γραμμές οποιουδήποτε κλιμακωτού πίνακα είναι γραμμικώς ανεξάρτητες, από τα Θεωρήματα 134 και 143 προκύπτει ότι: Ο βαθμός ενός πίνακα A ισούται με το πλήθος των μη μηδενικών γραμμών του κλιμακωτού πίνακα γραμμοϊσοδύναμου με τον A Παράδειγμα 141 3 5 7 A = 1 2 3 1 3 5 A1+A3 Άρα, rank(a) = 2 4 8 12 1 2 3 1 2 3 1 4 A1 1 2 3 1 3 5 1 3 5 A1 A2 0 0 0 1 2 3 1 3 5 A1 A3 1 3 5 1 2 3 0 0 0 A2 A1 1 3 5 0 1 2 0 0 0
12 15 Anˆstrofoc enìc pðnaka Ο ανάστροφος ενός πίνακα A = (a ij ) τύπου m n λέγεται ο πίνακας A t = (a ji ) τύπου n m όπου a ji = a ij Δηλαδή οι i-στήλη του A t είναι η i-γραμμή του A: a 11 a 12 a 1n a 11 a 21 a m1 a 21 a 22 a 2n A = M m n(r) = A t a 12 a 22 a m2 = M n m(r) a m1 a m2 a mn a 1n a 2n a mn Παράδειγμα 151 A = ( 1 2 3 4 5 6 ) = A t = 1 4 2 5 3 6 Θεώρημα 152 Αν A M m n (R), τότε 1 (A t ) t = A 2 (A + B) t = A t + B t, B M m n (R) 3 (A B) t = B t A t, B M n k (R) 4 (λa) t = λa t 16 AntÐstrofoc enìc tetragwnikoô pðnaka Ενας τετραγωνικός πίνακας A M n n (R) καλείται αντιστρέψιμος όταν υπάρχει πίνακας B M n n (R) τέτοιος ώστε A B = B A = I, (13) όπου I είναι ο μοναδιαίος τετραγωνικός πίνακας τύπου n n Θεώρημα 161 Για κάθε αντιστρέψιμο πίνακα A υπάρχει μοναδικός πίνακας B για τον οποίον ισχύουν οι ισότητες (13) Για κάθε αντιστρέψιμο πίνακα A ο μοναδικός πίνακας B για τον οποίο ισχύουν οι ισότητες (13), καλείται αντίστροφος πίνακας του A και συμβολίζεται με A 1, οπότε A A 1 = A 1 A = I 161 Idiìthtec tou antðstrofou pðnaka 1 Αν οι πίνακες A, B M n n (R) είναι αντστρέψιμοι, τότε ο πίνακας A B είναι αντιστρέψιμος και (A B) 1 = B 1 A 1 2 Αν ο πίνακας A M n n (R) είναι αντστρέψιμος, τότε ο πίνακας A t είναι αντιστρέψιμος και (A t ) 1 = (A 1 ) t
13 17 Stoiqei deic pðnakec Ορισμός 171 Ενας τετραγωνικός πίνακας τύπου n n καλείται στοιχειώδης όταν μπορεί να προκύψει από τον μοναδιαίο πίνακα τύπου n n εφαρμόζοντας έναν στοιχειώδη μετασχηματισμο γραμμών Υπάρχουν τρείς μορφές στοιχειωδών πινάκων, κάθεμιά από τις οποίες αντιστοιχεί σε έναν στοιχειώδη μετασχηματισμό γραμμών: 1 Πολλαπλασιασμός κάποιας γραμμής του I με λ R \ {0} 1 1 1 I = 1 i γραμμή λai 1 1 1 λ 1 1 = I λ[i] 2 Η πρόσθεση σε μια γραμμη του I μιας άλλης γραμμής πολλαπλασιασμένης με λ R \ {0} 1 1 1 i γραμμή 1 λ I = A i+λa j = I [i]+λ[j] 1 j γραμμή 1 1 1 3 Αντιμετάθεση δύο γραμμών του I 1 1 I = 1 1 i γραμμή j γραμμή A i A j 1 0 1 1 0 1 = I [i] [j] 171 Idiìthtec twn stoiqeiwd n pinˆkwn 1 Κάθε στοιχειώδης πίνακας είναι αντιστρέψιμος 2 Ο αντίστροφος πίνακας ενός στοιχειώδους πίνακα είναι στοιχειώδης 3 Το γινόμενο δύο στοιχειωδών πινάκων είναι στοιχειώδης πίνακας Θεώρημα 172 Ο πίνακας B M m n (R) προκύπτει από τον πίνακα A M m n (R) με την εφαρμογή του στοιχειώδους μετασχηματισμού γραμμών φ αν και μόνον αν B = I ϕ A, όπου I φ είναι ο στοιχειώδης πίνακας που προκύπτει από το μοναδιαίο πίνακα I M m m (R) με την εφαρμογή του φ
14 Παράδειγμα 171 Αν φ συμβολίζει τον στοιχειώδη μετασηματισμό γραμμών A 1 + 2A 2 (την πρόσθεση της δεύτερης γραμμής πολλαπλασιασμένης επί 2 στην πρώτη γραμμή ), τότε A = I φ A = I = 1 2 3 2 3 4 3 4 6 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 0 0 1 0 0 0 1 φ φ 1 2 3 2 3 4 3 4 6 5 8 11 2 3 4 3 4 6 1 2 0 0 1 0 0 0 1 = = B = I φ 5 8 11 2 3 4 3 4 6 = B Θεώρημα 174 Ο πίνακας B M m n (R) προκύπτει από τον πίνακα A M m n (R) με την διαδοχική εφαρμογή των στοιχειωδών μετασχηματισμών γραμμών φ 1, φ 2,, φ k αν και μόνον αν B = I ϕk I ϕ2 I ϕ1 A, όπου I φi είναι ο στοιχειώδης πίνακας που προκύπτει από το μοναδιαίο πίνακα I M m m (R) με την εφαρμογή του φ i 18 Grammik exˆrthsh gramm n sthl n enìc pðnaka Θα λέμε ότι η γραμμή A i ενός πίνακα A είναι γραμμικώς συνδυασμός των γραμμών A i1, A i2,, A in, όταν A i = λ 1 A i1 + λ 2 A i2 + + λ n A in, όπου λ 1, λ 2,, λ n R Οι γραμμές ενός πίνακα A καλούνται γραμμικώς εξαρτημένες, όταν υπάρχει γραμμή του A που είναι γραμμικός συνδυασμός άλλων γραμμών Οι γραμμές ενός πίνακα A καλούνται γραμμικώς ανεξάρτητες, όταν δεν είναι γραμμικώς εξαρτημένες Ομοια ορίζεται η γραμμική εξάρτηση (ανεξαρτησία) των στηλών ενός πίνακα Παραδείγματα 181 1 Οι γραμμές του A = 2 Οι στήλες του B = 3 Οι γραμμές του C = 4 Οι στήλες του D = 1 2 3 1 1 0 5 7 6 1 1 2 5 3 8 5 3 7 6 1 2 1 2 0 3 0 1 0 8 0 0 0 0 0 0 1 6 είναι γραμμικώς εξαρτημένες, αφού A 3 = 2A 1 + 3A 2 0 2 9 3 0 1 2 8 0 2 0 5 είναι γραμμικώς εξαρτημένες, αφού A 2 = A 1 + A 3 είναι γραμμικώς εξαρτημένες, αφού A 3 = 0 A 1 + 0 A 2 + 0 A 4 είναι γραμμικώς εξαρτημένες, αφού A 1 = 0 A 2 +0 A 3 +0 A 4
15 19 Krit ria antistreyimìthtac enìc pðnaka Θεώρημα 191 Για έναν τετραγωνικό πίνακα A M n n (R) τα εξής είναι ισοδύναμα: (a) Ο A είναι αντιστρέψιμος (b) Οι γραμμές του A είναι γραμμικώς ανεξάρτητες (c) Οι στήλες του A είναι γραμμικώς ανεξάρτητες (d) Ο A είναι γινόμενο πεπερασμένου πλήθους στοιχειωδών πινάκων (e) Ο A είναι ισοδύναμος με τον μοναδιαίο πίνακα I M n n (R) Πόρισμα 192 Ενας τετραγωνικός πίνακας που περιέχει μηδενική γραμμή ή μηδενική στήλη δεν είναι αντιστρέψιμος 191 Upologismìc tou antðstrofou pðnaka Από τα Θεωρήματα 174 και 191(e) συνεπάγεται ότι αν ένας πίνακας A M n n (R) είναι αντιστρέψιμος, τότε I = I ϕk I ϕ2 I ϕ1 A, όπου I φi είναι ο στοιχειώδης πίνακας που προκύπτει από τον μοναδιαίο πίνακα I M n n (R) με την εφαρμογή του στοιχειώδους μετασχηματισμού γραμμών φ i Πολλαπλασιάζοντας με A 1 από δεξιά και τα δύο μέλη της προηγούμενης ισότητας παίρνουμε I A 1 = I ϕk I ϕ2 I ϕ1 A A 1 A 1 = I ϕk I ϕ2 I ϕ1 I Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι αν ο I προκύπτει μετά την εφαρμογή των στοιχειωδών μετασχηματισμών γραμμών φ 1, φ 2,, φ k στον A, τότε ο A 1 προκύπτει μετά την εφαρμογή των στοιχειωδών μετασχηματισμών γραμμών φ 1, φ 2,, φ k στον I Άρα, για να βρούμε τον αντίστροφο ενός πίνακα A μπορούμε να εφαρμόσουμε τον εξής κανόνα: Αν φέρουμε τον πίνακα (A I) με τη βοήθεια των στοιχειωδών μετασχηματισμών γραμμών στη μορφή (I B), τότε B = A 1 Παραδείγματα 191 1 Να βρεθεί ο αντίστροφος πίνακας του A = ( 2 3 4 5 Εφαρμόζουμε διαδοχικούς στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών στον πίνακα (A I 2 ) έτσι ώστε ο A του (A I 2 ) να μετασχηματιστεί στον πίνακα I 2, τότε ο I 2 του (A I 2 ) θα μετασχηματιστεί στον A 1 (A I 2 ) = ( 2 3 4 5 1 0 0 1 ) A 2 2A 1 ( 2 3 0 1 ) 1 0 2 1 ) A 1+3A 2 ( 2 0 0 1 5 3 2 1 ) ( 1 2 A1 1 0 A 2 0 1 5 2 3 2 2 1 ) = (I 2 A 1 ) Συνεπώς, ( ) A 1 5 3 = 2 2 2 1
16 2 Να βρεθεί ο αντίστροφος πίνακας του A = 2 2 3 1 1 0 1 2 1 Εφαρμόζουμε διαδοχικούς στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών στον πίνακα (A I 3 ) έτσι ώστε ο A του (A I 3 ) να μετασχηματιστεί στον πίνακα I 3, τότε ο I 3 του (A I 3 ) θα μετασχηματιστεί στον A 1 2 2 3 1 0 0 1 3 3 1 1 0 (A I 3 ) = 1 1 0 0 1 0 A1 A2 1 1 0 1 2 1 A 0 0 1 3+A 2 0 1 0 0 1 1 0 1 1 Συνεπώς, A 3+A 2 A 1 3A 3 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 4 3 0 1 0 0 1 1 1 4 3 1 5 3 1 6 4 A2 A 1 = A2 A1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 4 3 1 5 3 1 6 4 1 4 3 1 5 3 1 6 4 1 4 3 1 5 3 0 1 1 = (I 3 A 1 )
17 110 Ask seic 1 Να βρεθεί ο πίνακας B που πρέπει να προστεθεί στον πίνακα A = 1 4 3 1 5 3 1 6 4 ώστε να προκύψει μοναδιαίος πίνακας 2 Να βρεθούν οι πίνακες A + B και A B, όταν ( 1 3 8 (i) A = 3 5 0 (ii) A = ) ( 10 4 3, B = 8 5 9 a a 2+b 1 a 3+c 1 1 2 2 a 2+b 1 b 2 b 3+c 2 2 2 a 3+c 1 b 3+c 2 2 2 c 3, B = 3 Να βρεθούν οι ανάστροφοι των πινάκων: ( 1 2 2 4 ), ( ) 1 6 3, 2 8 4 ) a 0 2 b 1 a 3 c 1 2 2 a2 b1 b 2 0 3 c 2 2 a3 c1 b 3 c 2 2 2 0 1 2, 3 x a b a y c, b c z 4 Ενας τετραγωνικός πίνακας A καλείται συμμετρικός, όταν A = A t (i) Να δοθεί παράδειγμα ενός 3 3 συμμετρικού πίνακα (ii) Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ο πίνακας είναι 2 1 5x 1 7 0 x 2 + 6 0 3 5 Ενας τετραγωνικός πίνακας A καλείται αντισυμμετρικός όταν A t = A (i) Να δοθεί παράδειγμα ενός 3 3 αντισυμμετρικού πίνακα 0 a b a 0 c b c 0 συμμετρικός (ii) Να αποδειχθεί ότι κάθε τετραγωνικός πίνακας μπορεί να γραφεί ως άθροισμα ενός συμμετρικού και ενός αντισυμμετρικού πίνακα 6 Δίνονται οι πίνακες A = ( 1 4 5 7 ) ( 1 3, B = 4 2 ), C = 1 2 0 3 2 0 3 2 1 (i) Ποια από τα γινόμενα A 2, AC, DA, AD, D 2, DC, CD, C 2 είναι δυνατά; (ii) Να διερευνηθεί αν οι πίνακες AB και BA είναι ίσοι 1 4 3 7 Να βρεθεί ο πίνακας A + A 2 + I, αν A = 1 5 3 1 6 4 8 Να βρεθούν τα γινόμενα των πινάκων:, D = ( 6 0 7 1 1 2 ( ) ( ) a a11 a (x y) 12 x 11 a 12 a 1 x, (x y 1) a a 12 a 22 y 12 a 22 a 2 y a 1 a 2 a 0 1 )
18 9 Για τον πίνακα A = 4 0 0 0 3 0 0 0 2 10 Να αναχθούν σε κλιμακωτή μορφή οι πίνακες: 2 3 1 5 (i) 4 1 1 7, (ii) 2 3 1 1 1 1 1 3 1 1 1 2 3 4 2 4 να βρεθεί ο πίνακας B για τον οποίο AB =, (iii) 1 1 1 a b c a 2 b 2 c 2 24 12 16 3 3 24 16 0 8 11 Να προσδιοριστούν οι βαθμοί των πινάκων: 1 2 3 1 2 2 4 4 6 10 3 6 6 9 13, 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1, 2 0 2 0 2 0 1 0 1 0 2 1 0 2 1 0 1 0 1 0 3 2 2 12 Να αποδειχθεί ότι ο πίνακας 1 3 1 είναι αντίστροφος του πίνακα 5 3 4 1 0 1 13 Για τον πίνακα A = 3 3 4 να βρεθούν οι πίνακες (A t ) 1 και ( A 1) t 2 2 3 ( ) ( ) 8 3 a b 14 Να βρεθούν οι αντίστροφοι των πινάκων:,, 1 2 c d 15 Να σχολιαστεί γιατί οι παρακάτω πίνακες δεν είναι αντιστρέψιμοι: ( 1 2 3 4 5 6 ), 1 2 1 2 4 2, 3 6 3 10 8 3, 0 0 0 4 1 1 1 0 1 3 3 4 2 2 3 ( ) 1 2 16 Να παρασταθεί ο πίνακας A = ως γινόμενο στοιχειωδών πινάκων 3 4 9/5 2/5 4/5 1/5 2/5 1/5 12/5 1/5 7/5, a 2a + 3x x b 2b + 3y y c 2c + 3z z 1 2 3 0 1 2 0 0 1 Λύση A = ( 1 2 3 4 ) ( A 2 3A 1 1 2 ϕ1 0 2 ) ( 1 2 A2 1 2 ϕ2 0 1 Από το Θεώρημα 174: I = I ϕ3 I ϕ2 I ϕ1 A Επομένως A = I ϕ 1 1 ( ) ) 1 0 Άρα, I = 0 1 ( ) 1 0 I = 0 1 ( ) 1 0 I = 0 1 A = ( 1 0 3 1 A 2+3A 1 ϕ 1 1 2A 2 ϕ 1 2 A 1+2A 2 ϕ 1 3 ( 1 0 3 1 ( 1 ) 0 0 2 ( 1 2 ) 0 1 ) ( 1 0 0 2 ) ( A 1 2A 2 1 0 ϕ3 0 1 I ϕ 1 2 = I ϕ 1 1 = I ϕ 1 2 = I ϕ 1 3 ) ( 1 2 0 1 ) I ϕ 1 3 ) = I
Kefˆlaio 2 OrÐzousa tou pðnaka Στο Κεφάλαιο αυτό για κάθε φυσικό αριθμό n 1 θα ορίσουμε μια απεικόνιση det : M n n (R) R, με επιθυμητές ιδιότητες Η απεικόνιση det σε κάθε τετραγωνικό πίνακα A αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό την ορίζουσα του A 21 Metajèseic Εστω {p 1, p 2, p n } ένα πεπερασμένο σύνολο Κάθε ένα-προς -ένα και επί απεικόνιση µ : {p 1, p 2,, p n } {p 1, p 2,, p n } καλείται μετάθεση Η μετάθεση µ συμβολίζεται με πίνακα ( ) p1 p µ = 2 p n µ(p 1 ) µ(p 2 ) µ(p n ) Η αντίστροφη της μετάθεσης µ είναι η μετάθεση ( ) µ 1 µ(p1 ) µ(p = 2 ) µ(p n ) p 1 p 2 p n ( ) ( p1 p Αν µ = 2 p n p1 p και ν = 2 p n µ(p 1 ) µ(p 2 ) µ(p n ) ν(p 1 ) ν(p 2 ) ν(p n ) είναι η μετάθεση ( ) p ν µ = 1 p 2 p n ν(µ(p 1 )) ν(µ(p 2 )) ν(µ(p n )) Το πλήθος των μεταθέσεων ένος συνόλου με n στοιχεία ισούται με n! ), τότε γινόμενο µ επί ν Θα περιοριστούμε στις μεταθέσεις των πεπερασμένων συνόλων φυσικών αριθμών της μορφής S n = {1, 2,, n} Θα συμβολίζουμε με S n το σύνολο όλων των μεταθέσεων του S n ( ) 1 2 n Η μετάθεση 1 n = του S 1 2 n n καλείται ταυτοτική μετάθεση του S n Μια μετάθεση α : S n S n καλείται αντιμετάθεση αν υπάρχουν i, j S n τέτοια ώστε α(i) = j, α(j) = i και α(k) = k για k S n \ {i, j} Μια αντιμετάθεση των στοιχείων i, j μπορεί να παρασταθεί ως εξής: ( ) 1 i j n α(i, j) = 1 j i n 19
20 Παραδείγματα 211 1 Ορίζουμε τη μετάθεση µ : {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} ως εξής: µ(1) = 2, µ(2) = 4, µ(3) = 1, µ(4) = 3 Τότε 2 Αν µ = ( 1 2 3 4 2 1 4 3 µ = ( 1 2 3 4 µ(1) µ(2) µ(3) µ(4) ) και ν = ν µ = ( 1 2 3 4 1 4 3 2 ( 1 2 3 4 4 1 2 3 ), τότε ) = ( 1 2 3 4 2 4 1 3 ) ( 1 2 3 4, µ ν = 2 3 4 1 ) ) 3 Το πλήθος των μεταθέσεων του S 3 = {1, 2, 3} είναι 3! = 6, οι οποίες είναι οι εξής: 4 Αν ω = ( 1 2 3 3 1 2 ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 µ 1 =, µ 1 2 3 2 =, µ 2 1 3 3 = ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 µ 4 =, µ 3 2 1 5 =, µ 2 3 1 6 = ) ( 1 2 3, τότε ω 1 = 2 3 1 S 3 = {µ 1, µ 2, µ 3, µ 4, µ 5, µ 6 } ) Επίσης ω ω 1 = ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 5 Οι αντιμεταθέσεις του S 3 είναι:, 2 1 3 3 2 1 211 Parabˆseic miac metˆjeshc ( 1 2 3 1 3 2 ( 1 2 3 1 3 2 ( 1 2 3 3 1 2 ( 1 2 3 1 2 3 ) ), ), ) = 1 3 Εστω i, j S n = {1,, n} και i < j Το ζευγος (i, j) καλείται παράβαση μιας μετάθεσης µ S n, όταν µ(i) > µ(j) Συμβολίζουμε με π(µ) το πλήθος των παραβάσεων της μετάθεσης µ Η µ καλείται άρτια μετάθεση (αντίστοιχα, περιττή μετάθεση), όταν ο αριθμός π(µ) είναι άρτιος (αντίστοιχα, περιττός) Παράδειγμα 211 1 Το πλήθος των παραβάσεων της ταυτοτικής μετάθεσης 1 n = ( 1 2 n 1 2 n ) είναι μηδέν ( ) 1 2 3 2 Αν ϕ =, τότε το σύνολο των παραβάσεων της ϕ είναι {(1, 3), (2, 3)} Επομένως, π(ϕ) = 2 2 3 1 Η μετάθεση ϕ είναι άρτια 3 Αν µ = ( 1 2 3 4 2 4 1 3 ), τότε το σύνολο των παραβάσεων της µ είναι {(1, 3), (2, 3), (2, 4)} Επομένως, π(µ) = 3 Η μετάθεση µ είναι περιττή
21 22 Orismìc thc orðzousac enìc tetragwnikoô pðnaka Ορισμός 221 Για κάθε τετραγωνικό πίνακα a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = M n n(r) a n1 a n2 a nn ο αριθμός det(a) = ( 1) π(µ) a 1µ(1) a 2µ(2) a nµ(n) µ S n καλείται ορίζουσα του A Η απεικόνιση det : M n n (R) R, η οποία σε κάθε πίνακα A M n n (R) αντιστοιχίζει την ορίζουσα του A, καλείται ορίζουσιακή Η ορίζουσα ενός πίνακα A συμβολίζεται και με A Παραδείγματα 221 1 Εστω A = ( ) a11 a 12 a 21 a 22 Για S 2 = {1, 2}, το σύνολο των μεταθέσεων είναι S 2 = {µ 1, µ 2 }, όπου Εχουμε π(µ 1 ) = 0 και π(µ 2 ) = 1 Επομένως ( ) ( ) 1 2 1 2 µ 1 =, µ 1 2 2 = 2 1 det(a) = ( 1) π(µ1) a 1µ1(1)a 2µ1(2) + ( 1) π(µ2) a 1µ2(1)a 2µ2(2) = a 11 a 22 a 12 a 21 2 Εστω A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Για S 3 = {1, 2, 3}, το σύνολο των μεταθέσεων είναι S 3 = {µ 1, µ 2, µ 3, µ 4, µ 5, µ 6 }, όπου µ 1 = µ 4 = ( 1 2 3 1 2 3 ( 1 2 3 3 2 1 ) ( 1 2 3, µ 2 = 2 3 1 ) ( 1 2 3, µ 5 = 1 3 2 ) ( 1 2 3, µ 3 = 3 1 2 ) ( 1 2 3, µ 6 = 2 1 3 ), ) Εχουμε π(µ 1 ) = 0 και π(µ 2 ) = 2, π(µ 3 ) = 2, π(µ 4 ) = 3, π(µ 5 ) = 1, π(µ 6 ) = 1 Επομένως, det(a) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33
22 221 TrigwnikoÐ pðnakec Εστω A = (a ij ) M n n (R) ένας τετραγωνικός πίνακας Ο A = (a ij ) καλείται διαγώνιος όταν a ij = 0 για κάθε i j Ο A = (a ij ) καλείται άνω τριγωνικός όταν a ij = 0 για κάθε i > j Ο A = (a ij ) καλείται κάτω τριγωνικός όταν a ij = 0 για κάθε i < j Οι άνω τριγωνικοί και οι κάτω τριγωνικοί πίνακες καλούνται τριγωνικοί πίνακες Οι τριγωνικοί πίνακες παριστάνονται ως εξής: a 11 0 0 0 a 22 0 διαγώνιος πίνακας 0 0 a nn a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n άνω τριγωνικός πίνακας 0 0 a nn a 11 0 0 a 21 a 22 0 κάτω τριγωνικός πίνακας a n1 a n2 a nn Τα στοιχεία a 11, a 22,, a nn ενός πίνακα A M n n (R) καλούνται διαγώνια Θεώρημα 223 Η ορίζουσα κάθε τριγωνικού πίνακα (διαγώνιου, άνω τριγωνικού, κάτω τριγωνικού) ισούται με το γινόμενο των διαγώνιων στοιχείων του Επομένως, a 11 0 0 a 11 a 12 a 1n a 11 0 0 0 a 22 0 0 a 22 a 2n a 21 a 22 0 = = = a 11 a 22 a nn 0 0 a nn 0 0 a nn a n1 a n2 a nn 23 Elˆssonec kai algebrikˆ sumplhr mata Θεωρούμε έναν τετραγωνικό πίνακα a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = M n n(r) a n1 a n2 a nn Ο πίνακας που προκύπτει από τον πίνακα A όταν διαγράψουμε την i-γραμμή και την j-στήλη καλείται ελάσσονας του a ij και συμβολίζεται με M j i Ο αριθμός A ij = ( 1) i+j det(m j i ) καλείται αλγεβρικό συμπλήρωμα του στοιχείου a ij
23 Παραδείγματα 231 ( ) a11 a 1 A = 12 = M a 21 a 1 1 = a 22, M1 2 = a 21, M2 1 = a 12, M2 2 = a 11 = 22 A 11 = ( 1) 1+1 det(m 1 1 ) = a 22, A 12 = ( 1) 1+2 det(m 2 1 ) = a 21, A 21 = ( 1) 2+1 det(m2 1 ) = a 12, A 22 = ( 1) 2+2 det(m2 2 ) = a 11 a 11 a 12 a 13 ( ) 2 A = a 21 a 22 a 23 = M 2 a11 a 2 = 13 = A a a 31 a 32 a 31 a 22 = ( 1) 2+2 det(m2 2 ) = (a 11 a 33 a 13 a 31 ) 33 33 24 Anˆptuxh miac orðzousac katˆ gramm katˆ st lh Θεώρημα 241 Η ορίζουσα ενός πίνακα A M n n (R) ισούται με το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων οποιασδήποτε γραμμής επί τα αλγεβρικά τους συμπληρώματα, δηλαδή det(a) = n a ij A ij = a i1 A i1 + + a in A in, i = 1,, n j=1 Θεώρημα 242 Η ορίζουσα ενός πίνακα A M n n (R) ισούται με το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων οποιασδήποτε στήλης επί τα αλγεβρικά τους συμπληρώματα, δηλαδή det(a) = n a ij A ij = a 1j A 1j + + a nj A nj, j = 1,, n i=1 Με τη βοήθεια των πινάκων M j i που προκύπτουν με τη διαγραφή της i-γραμμής και j-στήλης ενός πίνακα A τύπου n n, παίρνουμε: την ανάπτυξη της ορίζουσας του A κατά i-γραμμή det(a) = την ανάπτυξη της ορίζουσας του A κατά j-στήλη n ( 1) i+j a ij M j i, j=1 det(a) = n ( 1) i+j a ij M j i i=1 a 11 a 12 a 13 Παραδείγματα 241 Εστω A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 1 Αναπτύσσοντας την ορίζουσα του A κατά τα στοιχεία της 1ης γραμμής παίρνουμε det(a) = ( 1) 1+1 a a 22 a 23 11 a 32 a 33 + a ( 1)1+2 a 21 a 23 12 a 31 a 33 + a ( 1)1+3 a 21 a 22 13 a 31 a 32 = a = a 22 a 23 11 a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 2 Αναπτύσσοντας την ορίζουσα του A κατά τα στοιχεία της 2ης στήλης παίρνουμε det(a) = ( 1) 1+2 a a 21 a 23 12 a 31 a 33 + a ( 1)2+2 a 11 a 13 22 a 31 a 33 + a ( 1)3+2 a 11 a 13 32 a 21 a 23 a = a 21 a 23 12 a 31 a 33 + a 22 a 11 a 13 a 31 a 33 a 32 a 11 a 13 a 21 a 23 =
24 25 Idiìthtec twn orizous n 1 Η ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα αλλάζει πρόσημο κατά την αντιμετάθεση δύο γραμμών (αντίστοιχα, δύο στηλών): a j1 a j2 a jn a i1 a i2 a in = a i1 a i2 a in a j1 a j2 a jn a 1i a 1j a 2i a 2j a ni a nj = a 1j a 1i a 2j a 2i a nj a ni 2 Αν σε μια γραμμή (αντίστοιχα, στήλη) ενός πίνακα προστεθεί μια άλλη γραμμή (αντίστοιχα, στήλη )του ίδιου πίνακα πολλαπλασιασμένη με έναν αριθμό λ, τότε ο πίνακας που προκύπτει έχει την ίδια ορίζουσα: a i1 a i2 a in a j1 a j2 a jn = a i1 + λa j1 a i2 + λa j2 a in + λa jn a j1 a j2 a jn a 1j a 1i a 2j a 2i a nj a ni = a 1i a 1j + λa 1i a 2i a 2j + λa 2i a ni a nj + λa ni 3 Αν μια γραμμή (αντίστοιχα, στήλη) ένος πίνακα A πολλαπλασιαστεί με έναν αριθμό λ 0, τότε προκύπτει πίνακας με ορίζουσα λ A : a 11 a 12 a 1n a i1 a i2 a in a n1 a n2 a nn = 1 λ a 11 a 12 a 1n λa i1 λa i2 λa in a n1 a n2 a nn a 11 a 1i a 1n a 21 a 2i a 2n a n1 a ni a nn = 1 λ a 11 λa 1j a 1n a 21 λa 2n a 2n a n1 λa nj a nn
25 4 a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n a i1 + a i1 a i2 + a i2 a in + a in = a i1 a i2 a in + a i1 a i2 a in a n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn a 11 a 1i + a 1i a 1n a 21 a 2i + a 2i a 2n a n1 a ni + a ni a nn a 11 a 1i a 1n a 21 a 2i a 2n = a n1 a ni a nn a 11 a 1i a 1n a 21 a 2i a 2n + a n1 a ni a nn 5 Εστω A M n n (R) (αʹ) det(a) 0 αν και μόνον αν οι γραμμές (αντίστοιχα, οι στήλες) του A είναι γραμμικώς ανεξάρτητες (βʹ) det(a t ) = det(a) 6 Αν A, B M n n (R), τότε det(a B) = det(a) det(b) Πόρισμα 251 Η ορίζουσα ενός πίνακα που έχει δύο γραμμές ή δύο στήλες ίδιες ισούται με μηδέν 26 AneÔresh tou antðstrofou pðnaka Θεωρούμε έναν τετραγωνικό πίνακα: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = M n n(r) a n1 a n2 a nn Αντικαθιστώντας κάθε στοιχείο a ij με το αλγεβρικό του συμπλήρωμα, παίρνουμε τον πίνακα : A 11 A 12 A 1n A 21 A 22 A 2n M n n(r) A n1 A n2 A nn Ο συμπληρωματικός ή προσαρτημένος πίνακας του πίνακα A καλείται ο πίνακας: t A 11 A 12 A 1n A 11 A 21 A n1 A 21 A 22 A 2n A 12 A 22 A n2 adj(a) = = A n1 A n2 A nn A 1n A 2n A nn Θεώρημα 261 Αν ο πίνακας A είναι τετραγωνικός και det(a) 0, τότε A 1 = 1 det(a) adj(a)
26 Παραδείγματα 261 1 Να βρεθεί ο αντίστροφος πίνακας τού ( ) t A11 A Εχουμε adj(a) = 12 = A 21 A 22 Άρα, ( 2 3 A = 4 5 ) t = ( 5 4 3 2 2 Να βρεθεί ο αντίστροφος πίνακας τού A = Βρίσκουμε det(a) = 1 και 1 0 2 1 adj(a) = 2 3 2 1 2 3 1 0 Άρα, 1 0 1 1 2 3 1 1 2 3 1 0 ) ( 5 3 4 2 ( ) A 1 5 3 = 2 2 2 1 2 2 3 1 1 0 1 2 1 t 1 1 1 2 2 2 1 2 = 2 2 1 1 A 1 1 = det(a) adj(a) = 27 Prosdiorismìc tou bajmoô enìc pðnaka ) και det(a) = 2 1 1 1 4 5 6 3 3 4 1 4 3 1 5 3 1 6 4 t = 1 4 3 1 5 3 1 6 4 Για έναν πίνακα A = (a ij ) M m n (R) συμβολίζουμε με M j1jq i 1i p τον πίνακα που προκύπτει από τον A μετά τη διαγραφή των i 1 -γραμμής,, i p -γραμμής και j 1 -στήλης,, j q -στήλης Ο πίνακας M j1jq i 1i p καλείται ελλάσων πίνακας ή υποπίνακας του πίνακα A Θεώρημα 271 Ο βαθμός rank(a) ενός πίνακα A ισούται με το μέγιστο πλήθος των γραμμών του τετραγωνικού υποπίνακα του A με ορίζουσα διάφορη του μηδενός Παράδειγμα 271 Να βρεθεί ο βαθμός του πίνακα: A = 2 0 2 1 0 1 0 5 2 1 0 4 4 0 4 2 Επειδή ο A είναι μη μηδενικός και έχει 4 γραμμές, 1 rank(a) 4 Παρατηρούμε ότι οι γραμμές του πίνακα είναι γραμμικώς εξαρτημένες, αφού A 4 = 2A 1 Άρα, rank(a) 3 Για τον πίνακα M4 4 = 2 0 2 0 1 0 που προκύπτει από τον A μετά τη διαγραφή της 4ης γραμμής και της 2 1 0 4ης στήλης έχουμε: det(m4 4 ) = 4 0 Άρα, rank(a) = 3
27 28 Ask seic 17 Να βρεθεί το πλήθος των παραβάσεων στις παρακάτω μεταθέσεις και να χαρακτηριστούν οι μεταθέσεις ως άρτιες ή περιττές: ( 1 2 3 4 2 4 1 3 ), 18 Να βρεθεί η ορίζουσα του πίνακα A = 19 Να βρεθούν οι ορίζουσες: ( 1 2 3 4 5 3 2 1 5 4 1 2 0 0 1 2 2 1 3 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3, 20 Να βρεθούν οι ορίζουσες των πινάκων: 2 8 12 2 0 0 0 2 0 0 0 0 5 7 0 0 6, 3 7 0 0 1 5 1 0, 0 7 0 0 0 0 1 0, 9 4 2 3 0 0 0 3 21 Να αποδειχθεί ότι: 22 Να αποδειχθεί ότι: 1 1 1 1 a b c d a 2 b 2 c 2 d 2 a 3 b 3 c 3 d 3 23 Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης: ), ( 1 2 3 4 5 6 6 1 3 4 5 2 ) με ανάπτυξη κατά τα στοιχεία της 2ης γραμμής 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 = (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c) 1 + a 1 1 1 1 1 a 1 1 1 1 1 + b 1 = a 2 b 2 1 1 1 1 b 3 λ 1 1 1 5 λ 1 1 1 3 λ = 0 24 Να αποδειχθεί ότι σε ένα τετραγωνικό πίνακα A M n n (R) το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων μιας στήλης (γραμμής) επί τα αλγεβρικά συμπληρώματα των αντίστοιχων στοιχείων μιας άλλης στήλης (γραμμής) είναι μηδέν, δηλαδή αν i j, τότε a 1i A 1j + + a ni A nj = 0 b 1 Λύση Εστω A = (A 1 A i A j A n ) Αντικαθιστώντας την j-στήλη με μια στήλη b = παίρνουμε τον πίνακα B = (A 1 A i b A n ) Αναπτύσσοντας την ορίζουσα του B κατά τη j-στήλη παίρνουμε det(b) = b 1 A 1j + + b n A nj Επειδή η ορίζουσα ενός πίνακα δεν αλλάζει όταν σε μία στήλη του προσθέτουμε μία άλλη, έχουμε b n det(b) = (b 1 + a 1i )A 1j + + (b n + a ni )A nj Επομένως det(b) = det(b) + a 1i A 1j + + a ni A nj Άρα, a 1i A 1j + + a ni A nj = 0
28 25 Να σχολιαστεί γιατί οι ορίζουσες είναι ίσες με μηδέν: 1 4 2 8, 2 7 8 3 8 5 2 7 8, a x 0 k b y 0 l c w 0 m d z 0 n, a 1 a 2 a 3 a 4 x 1 x 2 x 3 x 4 3a 1 3a 2 3a 3 3a 4 1 2 3 4 26 Να υπολογιστεί ο βαθμός των πινάκων με τη χρήση των υποπινάκων (Θεώρημα 271): 27 Αν (i) (ii) a b c d e f g h i 2a c 2b 3c 2d f 2e 3f 2g i 2h 3i (iii) d e f a b c 3g 3h 3i 5 9 4 5 3 2 9 9 0 0 8 8, = 3, να υπολογιστούν οι ορίζουσες: 2a 3a + g d 2b 3b + h e 2c 3c + i f 28 Να αποδειχθεί ότι: (i) det(a t ) = det(a) 3 0 3 6 1 5 4 7 4 3 1 11 (ii) Αν A t = A και το πλήθος των γραμμών του A είναι 2n + 1, τότε ο A είναι μη αντιστρέψιμος (iii) Ενας τετραγωνικός πίνακας A είναι μη αντιστρέψιμος αν και μόνον αν det(a) = 0 29 Να υπολογιστεί ο αντίστροφος του A εφαρμόζοντας τον τύπο A 1 = 1 det(a) adj(a): (i) A = 2 5 5 1 1 0, (ii) A = 2 0 0 ( ) 8 1 0 2 5, (iii) A = 8 1 2 4 3 5 3 6
Kefˆlaio 3 EpÐlush susthmˆtwn grammik n exis sewn Σύστημα γραμμικών εξισώσεων με k - εξισώσεις και με n - αγνώστους είναι ένα σύστημα της μορφής: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a k1 x 1 + a k2 x 2 + + a kn x n = b k (31) Οι μεταβλητές x 1, x 2,, x n, οι συντελεσές a ij και οι σταθεροί (ελεύθεροι) όροι b i παίρνουν τιμές από το σύνολο των πραγματικών αριθμών R Κάθε n-διάστατο διάνυσμα (x 1, x 2,, x n ) με συντεταγμένες από το R, οι οποίες επαληθεύουν το σύστημα (31), καλείται λύση του συστήματος Ενα σύστημα γραμμικών εξισώσεων καλείται συμβατό, όταν έχει τουλάχιστον μία λύση Ενα σύστημα γραμμικών εξισώσεων καλείται τετραγωνικό, όταν το πλήθος των εξισώσεων ισούται με το πλήθος των αγνώστων Δύο συστήματα γραμμικών εξισώσεων καλούνται ισοδύναμα, όταν έχουν το ίδιο σύνολο λύσεων Σε κάθε σύστημα γραμμικών εξισώσεων της μορφής (31) μπορούμε να αντιστοιχίσουμε τρεις πίνακες: τον πίνακα συντελεστών τον πίνακα σταθερών όρων a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a k1 a k2 a kn b 1 b 2 b = (32) (33) b k και τον επαυξημένο πίνακα A b = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a k1 a k2 a kn b 1 b 2 b k (34) 29
30 Δεδομένου ενός επαυξημένου πίνακα A b με k γραμμές και n + 1 στήλες, μπορεί να γραφεί σύστημα k εξισώσεις και με n αγνώστους της μορφής (31) Παράδειγμα 301 Στο σύστημα 3 γραμμικών εξισώσεων με 3 αγνώστους 3x 1 + x 2 + 2x 3 = 5 x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 7 x 1 + 3x 2 + x 3 = 4 αντιστοιχούν ο πίνακας συντελεστών και ο επαυξημένος πίνακας 3 1 2 3 1 2 A = 1 2 4 και A b = 1 2 4 1 3 1 1 3 1 5 7 4 31 EpÐlush tetragwnikoô sust matoc me th qr sh twn pinˆkwn Ενα σύστημα n γραμμικών εξισώσεων με n αγνώστους a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a nn x n = b n (35) μπορει να γραφεί σε μορφή πινάκων ως εξής A X = b, (36) όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, X = a n1 a n2 a nn x 1 x 2 x n b 1, b = b 2 Άν ο πίνακας A είναι αντιστρέψιμος, τότε πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (36) με A 1 από αριστερά παίρνουμε διαδοχικά: A 1 A X = A 1 b = I X = A 1 b = X = A 1 b b n 32 EpÐlush sust matoc me apaloif agn stwn (Mèjodoc Gauss) Η μέθοδος Gauss επίλυσης συστήματος γραμμικών εξισώσεων με απαλοιφή αγνώστων βασίζεται στο παρακάτω θεώρημα: Θεώρημα 321 Άν οι πίνακες a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A b = a k1 a k2 a kn b 1 b 2 b k και C d = c 11 c 12 c 1n c 21 c 22 c 2n c j1 c j2 c jn d 1 d 2 d j είναι γραμμοϊσοδύναμοι, τότε είναι ισοδύναμα και τα αντίστοιχα συστήματα γραμμικών εξισώσεων: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a k1 x 1 + a k2 x 2 + + a kn x n = b k c 11 x 1 + c 12 x 2 + + c 1n x n = d 1 c 21 x 1 + c 22 x 2 + + c 2n x n = d 2 c j1 x 1 c j2 x 2 c jn x n = d j
31 Για να λύσουμε το σύστημα a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a k1 x 1 + a k2 x 2 + + a kn x n = b k (37) ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα 1 Γράφουμε τον επαυξημένο πίνακα A b = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a k1 a k2 a kn 2 Φέρνουμε τον επαυξημένο πίνακα A b του συστήματος σε κλιμακωτή μορφή Â b Από το Θεώρημα 321 τα συστήματα γραμμικών εξισώσεων που αντιστοιχούν στους πίνακες A b και  b είναι ισοδύναμα 3 Υπάρχουν τρία ενδεχόμενα (αʹ) Ο Â έχει n μη μηδενικές γραμμές, δηλαδή a 11 0, a 22 0,, a nn 0, τότε ο  b έχει τη μορφή: Στην περίπτωση αυτή, b 1 b 2 b k â 11 â 12 â 13 â 1 n 1 â 1n 0 â 22 â 23 â 2 n 1 â 2n 0 0 â 33 â 3 n 1 â 3n  b = 0 0 0 â n 1 n 1 â n 1 n 0 0 0 0 â nn rank(a) = rank(a b) = n ˆb1 ˆb2 ˆb3 ˆbn 1 ˆbn Στο  b αντιστοιχεί το σύστημα â 11 x 1 + â 12 x 2 + â 13 x 3 + + â 1n 1 x n 1 + â 1n x n = ˆb 1 â 22 x 2 + â 23 x 3 + + â 2n 1 x n 1 + â 2n x n = ˆb 2 â n 1n 1 x n 1 + â n 1n x n = ˆb n 1 â nn x n = ˆb n Από την τελευταία εξίσωση βρίσκουμε x n = ˆb n â nn ˆbn ˆbn 1 â n 1n â Αντικαθιστώντας x n στην προτελευταία εξίσωση βρίσκουμε x n 1 = nn â n 1n 1 Ανεβαίνοντας προς τα πάνω βρίσκουμε διαδοχικά όλους τους αγνώστους Το σύστημα, στην περίπτωση αυτή, έχει μοναδική λύση
32 (βʹ) Το πλήθος k των μη μηδενικών γραμμών του  ισούται με το πλήθος των γραμμών του  b και k < n Τότε, ο  b έχει τη μορφή: 0 0 â 1i1 â 1n ˆb1 0 0 0 â 2i2 â 2n ˆb2  b = 0 0 0 0 0 0 0 â kik â kn ˆbk (38) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Στην περίπτωση αυτή, rank(a) = rank(a b) = k < n Οι μεταβλητές x i1, x i2,, x ik που αντιστοιχούν στα ηγετικά στοιχεία του κλιμακωτού πίνακα (38) καλούνται κύριες μεταβλητές, οι υπόλοιπες μεταβλητές καλούνται ελεύθερες Για απλούστευση της γραφής υποθέτουμε ότι τα ηγετικά στοιχεία των γραμμών του  είναι τα â 11, â 22,, â kk Τότε το αντίστοιχο στο  b σύστημα μπορεί να πάρει τη μορφή: â 11 x 1 + â 12 x 2 + + â 1k x k = ˆb 1 a 1k+1 x k+1 a 1n x n â 22 x 2 + + â 2k x k = ˆb 2 a 2k+1 x k+1 a 2n x n â kk x k = ˆb k a kk+1 x k+1 a kn x n (39) Οι μεταβλητές x 1, x 2,, x k στο σύστημα (39) είναι οι κύριες Δίνουμε στις ελεύθερες μεταβλητές του (39) αυθαίρετες τιμές Τότε παίρνουμε το σύστημα x k+1 = µ k+1, x k+2 = µ k+2,, x n = µ n â 11 x 1 + â 12 x 2 + + â 1n x n = δ 1 â 22 x 2 + + â 2k x k = δ 2 â kk x k = δ k το οποίο ως προς κύριες μεταβλητές έχει μοναδική λύση x 1 = µ 1, x 2 = µ 2,, x k = µ k Η λύση του αρχικού συστήματος θα είναι το n-διάστατο διάνυσμα (µ 1,, µ n ), οι συντεταγμένες του οποίου εξαρτώνται από τις αυθαίρετες τιμές των ελεύθερων μεταβλητών Το σύστημα, στην περίπτωση αυτή, έχει άπειρο πλήθος λύσεων (γʹ) Το πλήθος k των μη μηδενικών γραμμών του  είναι μικρότερο από το πλήθος των γραμμών του  b, δηλαδή το ηγετικό στοιχείο της τελευταίας γραμμής του  b βρίσκεται στη στήλη b Τότε ο  b έχει την μορφή 0 0 â 1i1 â 1n 0 0 0 â 2i2 â 2n  b = 0 0 0 0 0 0 0 a kik a kn 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Στην περίπτωση αυτή rank(a) = k < k + 1 = rank(a b) ˆb1 ˆb2 ˆbk ˆbk+1 0 0
33 Στην τελευταία μη μηδενική γραμμή του πίνακα αντιστοιχεί η εξίσωση 0 x 1 + + 0 x k+1 = ˆb k+1 0, η οποία είναι αδύνατη Το σύστημα, στην περίπτωση αυτή, δεν έχει λύση Πόρισμα 321 Εστω ότι A είναι ο πίνακας συντελεστών και ο A b είναι ο επαυξημένος πίνακας ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων με n αγνώστους Τότε 1 Το σύστημα είναι συμβατό rank(a) = rank(a b) 2 Το σύστημα έχει μοναδική λύση rank(a) = rank(a b) = n Παραδείγματα 321 1 Να λυθεί το σύστημα Εχουμε A b = 2 1 1 1 2 1 1 1 2 A 3+A 2 1 1 4 A3 A1 1 1 2 0 1 1 0 0 4 2x+ y+ z = 1 x+ 2y+ z = 1 x+ y+ 2z = 4 1 1 2 1 2 1 2 1 1 4 5 12 Επομένως z = 3, y = 5 + z = 2 και x = 4 y 2z = 0 Άρα, (0, 2, 3) είναι η μοναδική λύση του συστήματος 2 Να λυθεί το σύστημα Εχουμε A b = A 3+2A 2 2 4 5 3 6 4 4 8 17 2 4 5 0 0 7 0 0 0 2x 4y + 5z = 1 4 1 A3 2A1 A 1 2 A 1 x+ y+ 2z = 4 y z = 5 4z = 12 1 2 9 1 7 0 3x 6y + 4z = 2 4x 8y + 17z = 9 2A2 3A1 2A 3 4A 1 Άρα, το σύστημα έχει άπειρες λύσεις (2y 2, y, 1) 2 4 5 0 0 7 0 0 14 1 7 14 1 1 2 0 1 1 0 1 3 4 5 7 2x 4y+ 5z = 1 7z = 7 x = 1 2 + 2y 5 2 z = 2y 2 z = 1 3 Να λυθεί το σύστημα Εχουμε A b = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 A3 A1 A 2 A 1 x+ y+ z = 1 x+ y+ z = 1 x+ y+ z = 4 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 2 3 Η τελευταία εξίσωση είναι αδύνατη Άρα, το σύστημα δεν έχει λύση x+ y+ z = 1 0 x+ 0 y+ 0 z = 2
34 33 EpÐlush sust matoc me ton kanìna tou Cramer Θεωρούμε ένα σύστημα n γραμμικών εξισώσεων με n αγνώστους a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a nn x n = b n (310) Συμβολίζουμε a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a n1 a n2 a nn και a 11 a 1 i 1 b 1 a 1 i+1 a 1n a 21 a 2 i 1 b 2 a 2 i+1 a 2n A xi =, i = 1,, n a n1 a n i 1 b n a n i+1 a nn Ο πίνακας A xi προκύπτει από τον πίνακα A με αντικατάσταση της i-στήλης του A με την στήλη b των ελεύθερων όρων Θεώρημα 331 (Κανόνας του Cramer) Αν det(a) 0, τότε το σύστημα (310) έχει μοναδική λύση (x 1, x 2,, x n ), όπου για κάθε i = 1,, n το x i βρίσκεται από τον τύπο: x i = det(a x i ) det(a) Παραδείγματα 331 Να λυθεί το σύστημα 3x + 4y + 2z = 5 5x 6y 4z = 3 4x + 5y + 3z = 1 Εχουμε det(a) = det(a y ) = 3 4 2 5 6 4 4 5 3 3 5 2 5 3 4 4 1 3 = 12, det(a x) = = 24, det(a z) = 5 4 2 3 6 4 1 5 3 3 4 5 5 6 3 4 5 1 = 12 = 60 Το σύστημα έχει μοναδική λύση x = det(a x) det(a) = 1, y = det(a y) det(a) = 2, z = det(a z) det(a) = 5
35 34 Omogen sust mata grammik n exis sewn Ορισμός 341 Ενα σύστημα γραμμικών εξισώσεων καλείται ομογενές αν όλοι οι ελεύθεροι όροι του είναι ίσοι με μηδέν Κάθε ομογενές σύστημα: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a k1 x 1 + a k2 x 2 + + a kn x n = 0 (311) είναι συμβατό, αφού η n-άδα (x 1,, x n ) = (0,, 0) ικανοποιεί όλες τις εξισώσεις του Συνθήκες κατά τις οποίες ένα ομογενές σύστημα n εξισώσεων με n αγνώστους έχει μη μηδενική λύση Από τον κανόνα του Cramer προκύπτει ότι η μηδενική λύση (x 1,, x n ) = (0,, 0) είναι η μοναδική του ομογενούς συστήματος με n εξισώσεις και n αγνώστους: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a nn x n = 0 (312) αν και μόνον αν a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n 0 a n1 a n2 a nn Πόρισμα 342 Το ομογενές σύστημα n γραμμικών εξισώσεων με n αγνώστους (312) έχει μη μηδενική λύση αν και μόνον αν η ορίζουσα των συντελεστών του είναι ίση με το μηδέν Δηλαδή, a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n = 0 a n1 a n2 a nn
36 35 Ask seic 30 Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα εξισώσεων: (i) x + z = c 1 x + y + z = c 2, z = c 3 z + w = c 4 (ii) x + 2y + z = 1 x + y + 2z = 4 (iii) x 1 + x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 1 3x 1 x 2 x 3 2x 4 = 4 2x 1 + 3x 2 x 3 x 4 = 6 x 1 + 2x 2 + 3x 3 x 4 = 4 (iv) x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 31 5x 1 + x 2 + 2x 3 = 29 3x 1 x 2 + x 3 = 10 31 Να λυθεί το σύστημα AX = b, όπου 2 1 1 A = 4 1 2, X = 2 1 1 32 Να διερευνηθούν τα παρακάτω συστήματα εξισώσεων: (i) ax + y + z = 1 x + ay + z = 1 x + y + az = 1 33 Να λυθούν τα συστήματα με τον κανόνα του Cramer: (i) x + 2y + z = 1 2x 3y 2z = 1 x y + z = 4 34 Να βρεθεί το λ για το οποίο το σύστημα έχει λύση 2x 1 x 2 + x 3 + x 4 = 1 x 1 + 2x 2 x 3 + 4x 4 = 2 x 1 + 7x 2 4x 3 + 11x 4 = λ,, x 1 x 2 x 3, b = 1 2 7 (ii) ax + y + z = 1 x + ay + z = a, x + y + az = a 2 (ii) x + y + 2z = 1 2x y + 2z = 4 4x + y + 4z = 2, 35 Να διερευνηθεί ποιά από τα παρακάτω συστήματα έχουν μη μηδενικές λύσεις: (i) 2x 3y + 4z w = 0 7x + y 8z + 9w = 0 2x + 8y + z w = 0 (iii) a 1 x + a 2 y + a 3 z = 0 b 1 x + b 2 y + b 3 z = 0 (ii) x + 3y z = 0 y 8z = 0 4z = 0 (iv) 3x 2y = 0 6x 4y = 0 36 Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες οι ευθείες: x + 2y = 1, 2x + (1 λ)y = 1, (1 λ)x + 3y = 2 έχουν μόνο ένα κοινό σημείο και να βρεθεί το σημείο αυτό
37 37 Με τη μέθοδο απαλοιφής του Gauss να βρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα A (i) A = 1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 1 2 0 0 0 1 Λύση (i) Θεωρούμε το σύστημα AX = b: Με τη μέθοδο απαλοιφής αγνώστων βρίσκουμε (ii) A = x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = b 1 x 2 + 2x 3 + 3x 4 = b 2 x 3 + 2x 4 = b 3 x 4 = b 4 1 2 3 2 3 5 3 1 1 Παρατηρούμε ότι Ομως X = A 1 b Άρα, x 1 = b 1 2b 2 + b 3 = 1 b 1 2 b 2 + 1 b 3 + 0 b 4 x 2 = b 2 2b 3 + b 4 = 0 b 1 + 1 b 2 2 b 3 + 1 b 4 x 3 = b 3 2b 4 = 0 b 1 + 0 b 2 + 1 b 3 2 b 4 x 4 = b 4 = 0 b 1 + 0 b 2 + 0 b 3 + 1 b 4 x 1 x 2 x 3 x 4 1 2 1 0 = 0 1 2 1 0 0 1 2 0 0 0 1 1 2 1 0 A 1 = 0 1 2 1 0 0 1 2 0 0 0 1 b 1 b 2 b 3 b 4
38
Mèroc II Analutik GewmetrÐa 39
Kefˆlaio 4 DianusmatikoÐ q roi Εστω E 3 ο τριδιάστατος Ευκλείδειος χώρος στον οποίο έχει οριστεί μία μονάδα μήκους Θεωρούμε δύο σημεία A και B του χώρου Συμβολίζουμε με AB το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα A και B AB το μήκος του AB [AB) την ημιευθεία με αρχή το A η οποία διέρχεται από το B (AB) την ευθεία που διέρχεται απο τα σημεία A και B 41 Efarmostˆ dianôsmata tou q rou Ορισμός 411 Κάθε διατεταγμένο ζεύγος (A, B) σημείων A και B του χώρου (A το πρώτο σημείο του ζεύγος και B το δεύτερο σημείο του ζεύγος) καλείται εφαρμοστό διάνυσμα με αρχή το A και πέρας το B και συμβολίζεται με AB Ορισμός 412 Τα εφαρμοστά διανύσματα AB και CD λέγεται ότι έχουν την ίδια διέυθυνση αν και μόνον αν είτε (AB) = (CD) είτε (AB) (CD) Γράφουμε τότε AB CD Ορισμός 413 Δύο εφαρμοστά διανύσματα AB και CD που έχουν την ίδια διεύθυνση καλούνται ομόρροπα ή λέγεται ότι έχουν την φόρα (γράφουμε τότε AB CD) αν και μόνον αν (i) είτε τα σημεία A, B, C, D ανήκουν σε μία ευθεία και οι ημιευθείες [AB) και [CD) τέμνονται κατά μία ημιευθεία, (ii) είτε οι ευθείες (AB) και (CD) είναι παράλληλες και οι ημιευθείες [AB) και [CD) περιέχονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία (AC) Ορισμός 414 Δύο εφαρμοστα διανύσματα AB και CD που έχουν την ίδια διεύθυνση και δεν είναι ομόρροπα καλούνται αντίρροπα (γράφουμε AB CD) Ορισμός 415 Τα εφαρμοστά διανύσματα AB και CD καλούνται ίσα (γραφουμε AB = CD) όταν AB CD και AB = CD Πρόταση 416 Για κάθε εφαρμοστό διάνυσμα AB και για κάθε σημείο C υπάρχει μοναδικό σημείο D τέτοιο ώστε AB = CD Ορισμός 417 Εστω AB ένα εφαρμοστό διάνυσμα, ε μια ευθεία και π ένα επίπεδο (a) AB ε ( AB είναι παράλληλο στη ε) (AB) ε ή (AB) = ε (b) AB π ( AB είναι παράλληλο στο π) (AB) π ή (AB) π 41
42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 42 EleÔjera dianôsmata Πρόταση 421 Η ισότητα των εφαρμοστών διανυσμάτων είναι σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο όλων των εφαρμοστών διανυσμάτων του χώρου, δηλαδή ικανοποιεί τα ακόλουθα αξιώματα: (i) AB = CD ανακλαστική ιδιότητα (ii) AB = CD = CD = AB συμμετρική ιδιότητα (iii) AB = CD και CD = EZ = AB = EZ μεταβατική ιδιότητα Ορισμός 422 Κάθε κλάση ισοδυναμίας ως προς τη σχέση ισοδυναμίας = στο σύνολο των εφαρμοστών διανυσμάτων του χώρου καλείται ελεύθερο διάνυσμα Τα ελεύθερα διανύσματα συμβολίζουμε με a, b, u, κτλ Συμβολίζουμε με 0 το ελεύθερο διάνυσμα που περιέχει τα εφαρμοστά διανύσματα: AA, BB, CC, κτλ Πρόταση 423 Για κάθε διάνυσμα u και για κάθε σημείο A υπάρχει μοναδικό σημείο B τέτοιο ώστε AB u Ορισμός 424 Εστω u και v δύο ελεύθερα διανύσματα, ε μια ευθεία του χώρου και π ένα επίπεδο του χώρου (a) u v ( u και v είναι παράλληλα) AB CD, όπου AB u και CD v (b) u ε ( u είναι παράλληλο στη ε) AB ε, όπου AB u (c) u π ( u είναι παράλληλο στο π) AB π, όπου AB u (d) u, v, w είναι συνεπίπεδα αν υπάρχει επίπεδο π τέτοιο ώστε u π, v π και w π Θεωρούμε ότι 0 u, 0 ε και 0 π Παρατήρηση 425 Για οποιαδήποτε ελεύθερα διανύσματα u και v υπάρχει επίπεδο π τέτοιο ώστε u π και v π Άθροισμα δυο ελεύθερων διανυσμάτων Το άθροισμα δυο ελεύθερων διανυσμάτων u και v ορίζεται ως εξής: (i) Παίρνουμε ένα τυχαίο σημείο A του χώρου (ii) Υπάρχει μοναδικό σημείο B τέτοιο ώστε AB u (iii) Υπάρχει μοναδικό σημείο C τέτοιο ώστε BC v Το ελεύθερο διάνυσμα που περιέχει το AC καλείται άθροισμα των u και v και συμβολίζεται με u + v Γινόμενο πραγματικού αριθμού επί ελεύθερο διάνυσμα Το γινόμενο ενός ελεύθερου διανύσματος u 0 επί λ R ορίζεται ως εξής: θεωρούμε AB u και ένα σημείο C της ευθείας (AB) τέτοιο ώστε (i) AC = λ AB (ii) AC AB, αν λ > 0, (iii) AC AB, αν λ < 0, (iv) C = A, αν λ = 0 Το ελεύθερο διάνυσμα που περιέχει το AC καλείται γινόμενο του λ επί του u και συμβολίζεται λ u ή με λ u Ορίζουμε λ 0 = 0, για κάθε λ R
DianusmatikoÐ q roi 43 43 H ènnoia tou dianusmatikoô q rou Ορισμός 431 Εστω V ένα σύνολο και έστω ότι για κάθε u, v V έχει οριστεί στοιχείο u + v V και για κάθε u V, λ R έχει οριστεί στοιχείο λ u V Το σύνολο V μαζί με τις πράξεις + και καλείται διανυσματικός χώρος πάνω στο R, αν 1 u + v = v + u 2 ( u + v) + w = u + ( v + w) 3 0 V, τέτοιο ώστε u + 0 = u, u V, 4 u V, u V, τέτοιο ώστε u + ( u) = 0, 5 (λ + µ) u = λ u + µ u, λ, µ R, u V, 6 λ(µ u) = (λµ) u, λ, µ R, u V, 7 λ( u + v) = λ u + λ v, 8 1 u = u Το στοιχείο 0 με την ιδιότητα (3) καλείται ουδέτερο στοιχείο του V Για κάθε u V το στοιχείο u με την ιδιότητα (4) καλείται αντίθετο του u Θεώρημα 432 Το σύνολο V 3 όλων των ελεύθερων διανυσμάτων του Ευκλείδιου χώρου είναι διανυσματικός χώρος πάνω στο R Θεώρημα 433 Το σύνολο V π όλων των ελεύθερων διανυσμάτων παράλληλων σ ένα επίπεδο π είναι διανυσματικός χώρος πάνω στο R Θεώρημα 434 Το σύνολο V ε όλων των ελεύθερων διανυσμάτων παράληλων σε μια ευθεία ε είναι διανυσματικός χώρος πάνω στο R Θεώρημα 435 Για κάθε διανυσματικό χώρο (V, +, ) ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: (i) Το ουδέτερο στοιχεό 0 είναι μοναδικό (ii) Για κάθε u V το αντίθετο στοιχείο u είναι μοναδικό (iii) 0 u = 0 για κάθε u V (iv) λ 0 = 0 για κάθε λ R (v) u = ( 1) u για κάθε u V (vi) λ u = λ = 0 ή u = 0 44 Grammik exˆrthsh stoiqeðwn dianusmatikoô q rou Η προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης των στοιχείων ενός διανυσματικού χώρου μας επιτρέπει να μιλάμε για το άθροισμα των τριών διανυσμάτων: u + v + w = ( u + v) + w = u + ( v + w) Με επαγωγή ορίζεται το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού διανυσμάτων: u 1 + u 2 + + u n = ( u 1 + u 2 + + u n 1 ) + u n Από τις ιδιότητες του διανυσματικού χώρου προκύπτει ότι μπορούμε να απλοποιούμε τις εξισώσεις και της παραστάσεις που περιέχουν διανύσματα-στοιχεία διανυσματικού χώρου όπως και τις εξισώσεις και τις παραστάσεις που περιέχουν μόνο αροιθμούς: να τοποθετούμε παρενθέσεις, να ανετιμεταθέτουμε τους όρους ενός α- θροίσματος, να μεταφέρουμε τους όρους από ένα μέλος μιας ισότητας στο άλλο αλλάζοντας πρόσημο
44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ορισμός 441 Εστω ότι u 1,, u n είναι στοιχεία ενός διανυσματικού χώρου V πάνω στο R Κάθε άθροισμα της μορφής λ 1 u 1 + + λ n u n καλείται γραμμικός συνδυασμός των στοιχείων u 1,, u n με συντελεστές λ 1,, λ n Προφανώς κάθε γραμμικός συνδυασμός λ 1 u 1 ++λ n u n των στοιχείων u 1,, u n ενός διανυσματικού χώρου V είναι στοιχείο του V Για κάθε πεπερασμένο σύνολο σύνολο u 1,, u n στοιχείων ενός διανυσματικού χώρου V υπάρχουν λ 1,, λ n R τέτοιοι ώστε λ 1 u 1 + + λ n u n = 0 Πράγματι, αρκεί να θέσουμε λ 1 = = λ n = 0, οπότε 0 u 1 + + 0 λ n u n = 0 Ο γραμμικός συνδυασμός 0 u 1 + + 0 u n καλείται τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός των u 1,, u n Ορισμός 442 Το διανύσματα u 1,, u n καλούνται γραμμικώς εξαρτημένα, αν υπάρχει μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός αυτών ίσος με το διάνυσμα 0 Δηλαδή αν υπάρχουν λ 1,, λ n R τέτοιοι ώστε: (i) λ 1 u 1 + + λ n u n = 0, (ii) λ 1 + + λ n 0 Ορισμός 443 Το διανύσματα u 1,, u n καλούνται γραμμικώς ανεξάρτητα, αν ο μόνος γραμμικός συνδυασμός αυτών ίσος με το διάνυσμα 0 είναι ο τετριμμένος Δηλαδή Παραδείγματα 441 1 Αν u 0, τότε u είναι γραμμικώς ανεξάρτητο λ 1 u 1 + + λ n u n = 0 λ 1 = = λ n = 0 Πράγματι, αν λ u = 0, τότε επειδή u 0 είναι λ = 0 2 Αν u v, τότε u, v είναι γραμμικώς εξαρτημένα Πράγματι, (i) Αν u = 0, τότε 1 u + 0 v είναι μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός των u και v ίσος με το 0 (ii)αν v = 0, τότε 0 u + 1 v είναι μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός των u και v ίσος με το 0 (iii) Αν u και v είναι δύο μη μηδενικά παράλληλα διανύσματα, τότε u = λ v Άρα, 1 u λ v είναι μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός των u και v ίσος με το 0 45 Basikèc protˆseic gia thn grammik exˆrthsh Εστω ότι u, u 1,, u n, u n+1 είναι στοιχεία ενός διανυσματικού χώρου πάνω στο R Πρόταση 451 Αν ένα από τα διανύσματα u 1,, u n είναι 0, τότε τα u 1,, u n είναι γραμμικώς εξαρτημένα Απόδειξη Εστω πχ u 1 = 0, τότε 1 u 1 + 0 u 2 + + 0 u n = 0, όπου ο γραμμικός συνδυασμός 1 u 1 + 0 u 2 + + 0 u n είναι μη τετριμμένος Πρόταση 452 Τα διανύσματα u 1,, u n είναι γραμμικώς εξαρτημένα τότε και μόνον τότε, όταν ένα από τα διανύσματα u 1,, u n είναι γραμμικός συνδυασμός των άλλων Πρόταση 453 Αν u 1,, u n είναι γραμμικώς ανεξάρτητα και u 1,, u n, u είναι γραμμικώς εξαρτημένα, τότε u είναι γραμμικός συνδυασμός των u 1,, u n Πρόταση 454 Αν τα u 1,, u n είναι γραμμικώς ανεξάρτητα και τότε οι αριθμοί λ 1,, λ n είναι μοναδικοί u = λ 1 u 1 + + λ n u n, Πρόταση 455 Αν u 1,, u n, u n+1 είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, τότε u 1,, u n είναι γραμμικώς ανεξάρτητα Πρόταση 456 Αν u 1,, u n είναι γραμμικώς εξαρτημένα, τότε u 1,, u n, u n+1 είναι γραμμικώς εξαρτημένα